Komputerowe wspomaganie projektowania stropów gęstożebrowych MES

W dobie komputerów każda branża wspomaga swoją pracę specjalistycznym oprogramowaniem, przeznaczonym do konkretnych zadań. Od wielu lat podstawą pracy inżynierów budownictwa jest analiza oparta na metodzie elementów skończonych (MES). Metoda ta, w skrócie, polega na dyskretyzacji większej dziedziny na małe elementy, dla których rozwiązanie interesujących nas wielkości fizycznych jest przybliżane funkcjami. Jest to metoda zaawansowana i wymaga, nawet dla prostego zadania, rozwiązania wielu złożonych układów równań, dlatego nie może być skutecznie wykorzystywana w sposób inny niż komputerowy. Na użytkowniku spoczywa natomiast proces przygotowania modelu, czyli możliwie wierne odwzorowanie rzeczywistości oraz prawidłowa dyskretyzacja. Metoda elementów skończonych jest niezwykle potężna i daje inżynierowi – pod warunkiem jej właściwego użycia – prawie nieograniczone możliwości symulacji.

Metoda elementów skończonych jest powszechnie wykorzystywana przy projektowaniu konstrukcji ze względu na duże możliwości i względnie łatwą obsługę.
 

Polecamy: Stropy w budownictwie mieszkaniowym

Analiza MES

W zależności od założonych schematów statycznych, współpracy przestrzennej elementów, użytych materiałów itp. komputerowa analiza stawia pewne wyzwania związane ze specyfiką użytych metod. W obecnych czasach najczęściej się stosuje stropy płaskie ze względu na łatwość szalowania i wykonania. Samo modelowanie takich ustrojów z zastosowaniem rozwiązań komputerowych również nie jest trudne, a specyfika dość dobrze rozpoznana. Z kolei stropy gęstożebrowe są stropami stosowanymi już od dziesięcioleci, jednak ich popularność nie maleje, co związane jest z ich względnie niską ceną, dostępnością czy łatwością montażu.

W odróżnieniu od monolitycznych stropów płaskich zazwyczaj sprawdzają się przy mniejszych rozpiętościach, w związku z czym są chętnie stosowane w budownictwie mieszkaniowym. Ponieważ rozwiązania te były stosowane na długo przed powszechnym wykorzystaniem wspomagania komputerowego w projektowaniu, często używane były rozwiązania analityczne – opisane obecnie przez pakiet Eurokodów.
 

Jak wcześniej wspomniano, metoda elementów skończonych pozwala na wierne odwzorowanie rzeczywistej pracy każdego ustroju. Tym samym strop gęstożebrowy również może zostać zamodelowany i uwzględniony we współpracy przestrzennej całego obiektu, składającego się z kombinacji różnych układów ustroju konstrukcyjnego.
 

Zobacz też: Stropy prefabrykowane

Modelowanie i analiza MES płyty stropu gęstożebrowego

W zależności od typu stropu gęstożebrowego nieco inny jest charakter pracy, a w związku z tym sposób modelowania w programach do analizy MES (rys. 1,2). W przypadku stropów Teriva stopki belek są prefabrykowane, ale wraz z pozostałą częścią oraz płytą nadbetonu stanowią zmonolityzowany układ. Modelowanie i analizę MES płyty stropu gęstożebrowego typu Teriva II budynku mieszkalnego przeprowadzono w programie Graitec Advance Design.

Rys. 1. Model MES programu Graitec Advance Design

Rys. 2. Siatka elementów skończonych dla całego modelu
 

Strop Teriva II jest stropem częściowo prefabrykowanym. Ustrojem nośnym są żebra o osiowym rozstawie 450 mm. Pustaki stanowią wypełnienie i nie biorą udziału w przenoszeniu obciążeń i zostało to uwzględnione w modelu MES – ich ciężar uwzględniono w obciążeniach stałych. Różne rodzaje stropów Teriva różnią się jedynie wysokością konstrukcyjną i rozstawem żeber, toteż przedstawione rozważania odnoszą się w ogólności do każdego rodzaju tych stropów.

Rys. 4. Przekrój zastępczy żebra stropu Teriva II
 

W przypadku obciążeń równomiernie rozłożonych na powierzchni stropu sprawdzenie poprawności przyjętego rozwiązania może się ograniczyć do porównania z podawanymi przez producenta tabelami granicznych obciążeń czy wartości sił przekrojowych. Sprawa się komplikuje w przypadku różnego rodzaju obciążeń skupionych czy liniowych rozmieszczonych w losowy sposób na stropie (obciążenia od więźby albo ścian działowych). Wtedy sprawdzenie żebra stropu wymaga ustalenia schematów statycznych i wymiarowania, co szybko i automatycznie zagwarantuje nam projektowanie komputerowe.
 

W modelu stropu uwzględniono płytę nadbetonu o grubości 4 cm, zamodelowanej jako powłoka (rys. 3).

Rys. 3. Zaproponowany sposób modelowania elementów stropu gęstożebrowego w MES

Żebra stropu współpracują z płytą, tworząc przekrój teowy, i modelowane są w postaci prętów o charakterze belki Timoshenki [1,2, 3]. Pręty te są wolne od uproszczeń, do których jesteśmy przyzwyczajeni w prostych ręcznych obliczeniach (zasady płaskich przekrojów Bernoulliego) [4]. Element w postaci pręta o charakterze belki Timoshenki uwzględnia przede wszystkim wpływ ścinania na odkształcenia. Rozmiar siatki elementów skończonych został przyjęty na podstawie osiowego rozstawu żeber stropu i stanowi połowę tej wielkości, czyli 22,5 cm.

Uwzględnienie współpracy belek z płytą w programach MES jest znaną specyfiką i często stanowi wyzwanie dla projektantów.
 

W klasycznych ustrojach płytowo-belkowych najczęściej sam charakter sztywności belki jako podciągu uwzględnia się, stosując metodę współczynnikową, która tę sztywność modyfikuje – zapomina się jednak o teowości przekroju i pracy płyty jako półki tego przekroju. Niektóre programy oparte na MES, tak jak Advance Design, dają możliwość uwzględnienia tej współpracy płyty z belką. Jest to skomplikowana obliczeniowo operacja – podczas niej belki ustalane są za pomocą offsetu (operacji przesunięcia położenia modelu obliczeniowego belki względem jej pierwotnego położenia), uwzględniając położenie środka ciężkości żebra pod modelowaną płytą.

Projektowanie stropów gęstożebrowych – opracowanie wyników wytrzymałościowych

Sam offset nie daje satysfakcjonujących rezultatów ze względu na to, że elementy zaczynają pracować w sposób „kratownicowy” – co znaczy, że pracują na pewnym ramieniu – płyta przejmuje naprężenia ściskające, belka zaś rozciągające (rys. 5).

Rys. 5. Momenty zginające ([kNm] po lewej) oraz siły podłużne ([kN] po prawej) w żebrach dla zastosowanego offsetu
 

Program automatycznie redukuje siłę rozciągającą z belki o wartość całki siły ściskającej z efektywnej szerokości płyty, generując jednocześnie dodatkowy moment wynikający z pracy tej siły na ramieniu offsetu. A zatem program automatycznie doprowadza do stanu bliskiego czystemu zginaniu z jednoczesnym uwzględnieniem rzeczywistej sztywności i współpracy elementów (rys. 6).

Rys. 6. Siły wymiarujące My [kNm] dla wybranych żeber stropu Teriva II
 

Dopiero dla tak wyznaczonych sił wewnętrznych przeprowadzone może zostać wymiarowanie zgodnie z PN-EN 1992-1-1 [5]. Warto zwrócić uwagę na fakt, że wykorzystując MES w modelowaniu i wymiarowaniu nawet prostych ustrojów, otrzymujemy odpowiedź o rzeczywistym zachowaniu konstrukcji – tak jak w tym przypadku łatwo zauważyć, że podatność elementów podpierających ma wpływ na rozkład momentów zginających w żebrach – rys. 6, czego nie uwzględnia się zazwyczaj w prostych obliczeniach ręcznych.
 

Na podstawie wymiarowania prawidłowo zamodelowanych żeber łatwo ocenić, czy zastosowane przez nas prefabrykowane belki systemu będą odpowiednio nośne – rys. 7.

Rys. 7. Zbrojenie teoretyczne [mm2] wybranych żeber stropu dla SGN
 

Oceniając teoretycznie wymagane z warunków SGN (stanu nośności granicznej) i SGU (stanu granicznego użytkowalności) zbrojenie, możemy porównać ze zbrojeniem stosowanym w poszczególnych typach żeber. Dla przykładu belki stropu Teriva II do rozpiętości 4,2 m posiadają standardowo w swojej stopce dwa pręty φ 8, co daje zbrojenie 101 mm². Widać zatem, że większość przedstawionych belek jest nośna, ale niektóre są na granicy wytężenia, gdyż z obliczeń wyszło wymagane zbrojenie 105 mm². Komputerowo wspomagane projektowanie pozwala ocenić nośność wielu żeber o różnym schemacie jednocześnie. Dodatkowo łatwo zaobserwować, że lokalizacja obciążeń (np. ścian działowych) czy sztywność elementów podpierających ma wpływ na pracę żeber.
 

W przypadku programów, które nie dają możliwości łatwego uwzględnienia współpracy elementów prętowych z powłokowymi, można przyjąć pewnego rodzaju uproszczenia. Jednym z nich jest modelowanie i wymiarowanie belek już w postaci założonego przekroju teowego (rys. 8), bez uwzględnienia w modelu płyty nadbetonu. Brak stężającego elementu w postaci płyty prowadzi jednak do zaburzenia przestrzennej sztywności całego układu.

Rys. 8. Belki o zastępczym przekroju teowym
 

Na potrzeby przekazania obciążenia między żebra stropu wykorzystać można elementy o charakterze okładzinowym, które nie posiadają charakterystyk mechanicznych (nie są siatkowane, a tym samym nie posiadają sztywności). Rozkład obciążeń jest ściśle określony niezależnie od pracy modelu, jednak podobnych rezultatów, należy tylko pamiętać, że jest pewnego rodzaju uproszczeniem rzeczywistego zachowania konstrukcji. Porównywalny wynik zbrojenia teoretycznego (rys. 9) pozwala również ocenić, czy narzędzia uwzględniające współpracę elementów belkowych i płytowych działają poprawnie.

Rys. 9. Zbrojenie teoretyczne [mm2] wybranych żeber modelowanych przekrojem teowym dla SGN
 

Pamiętać należy, że elementy żelbetowe pracować mogą w dwóch fazach (rys. 10). Obliczanie na podstawie systemu MES pozwala na uwzględnienie sztywności elementu po jego zarysowaniu również w statyce, co jest trudne do zrobienia w obliczeniach ręcznych. Element po zarysowaniu traci swoją sztywność, w miejscach zaś, które zarysowaniu nie ulegają i zastosuje się pewne zbrojenie rzeczywiste, sztywność wzrasta. Uwzględnienie tego zjawiska prowadzi do redystrybucji sił. Na rys. 10 przedstawiono rozkład sztywności w fazie II i związane z tym ugięcia dla żebra, na którym w jednym przęśle stoi ściana działowa. W programie Graitec Advance Design założono w tym celu rzeczywiste zbrojenie stopki stropu Teriva i obserwowano zachowanie konstrukcji z takim zbrojeniem.

Rys. 10. Sztywność elementu w fazie II (po lewej), ugięcia ostateczne (po prawej)

Komputerowe projektowanie stropów gęstożebrowych. Wnioski

Podsumowując, wspomaganie komputerowe w projektowaniu dowolnych ustrojów konstrukcyjnych, w tym również stropów gęstożebrowych, daje nieocenione korzyści. Wymaga od nas oczywiście włożenia pewnej pracy w poprawne przygotowanie modelu obliczeniowego, ale wybierając odpowiednie programy i rozwiązania, może być to proste i intuicyjne.

Praca ta natomiast procentuje w dokładnej analizie interesujących nas elementów stropu, a także uwzględnieniu stropów w globalnej pracy całego układu. Uproszczenia, do których byliśmy przyzwyczajeni przez lata, nie są skuteczne we wszystkich sytuacjach i nie uwzględniają wielu przypadków projektowych.

Bibliografia

1. O.C. Zienkiewicz, Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972.
2. J. Pietrzak, G. Rakowski, K. Wrześniowski, Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa-Poznań 1979.
3. G. Rakowski, Z. Kacprzyk, Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.
4. M. Klasztorny, Wytrzymałość materiałów – podręcznik akademicki, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne 2013.
5. PN-EN 1992-1-1:2008 Projektowanie konstrukcji z betonu – Reguły ogólne i reguły dla budynków.

mgr inż. Piotr Bieranowski, konstruktor, Wydział Nauk Technicznych, Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
mgr inż. Kamil Dziedzic, konstruktor, GRAITEC

Sprawdź: Kablobetonowe stropy transferowe