Wszystko, co chcielibyśmy wiedzieć, ale boimy się zapytać – cz. I.
Normy projektowania i normy obciążeń powinny być tak opracowane, aby zwymiarowane na ich podstawie elementy konstrukcyjne lub konstrukcje miały zapewniony odpowiednio wysoki poziom niezawodności.
Jak wiadomo, w 2010 r. Polskie Normy projektowania i obciążeń zostały zastąpione Eurokodami Konstrukcyjnymi, wspólnymi dla całej Unii Europejskiej.
Prawidłowa interpretacja Eurokodów oraz prawidłowe opracowanie ich załączników krajowych dostosowujących je do polskich warunków jest zadaniem naszym – projektantów, a zatem to na nas spoczęła odpowiedzialność za bezpieczeństwo projektowanych konstrukcji.
Według teorii niezawodności możliwe są dwa podejścia do projektowania:
– tradycyjne, czyli zgromadzone przez lata doświadczenie i intuicja inżynierska;
– probabilistyczne, wykorzystujące statystyczną analizę wyników badań.
Oba podejścia powinny się wzajemnie uzupełniać i żadnego z nich nie należy lekceważyć.
Niestety, Eurokody zostały sformułowane w sposób tak odmienny od norm dotychczas u nas stosowanych, że odwoływanie się do tradycji jest praktycznie niemożliwe. Jedyne, co nam pozostaje, to podejście probabilistyczne.
Zgodnie z nim normy projektowania i normy obciążeń powinny być tak opracowane, aby zwymiarowane na ich podstawie elementy konstrukcyjne lub konstrukcje miały zapewniony odpowiednio wysoki poziom niezawodności, tzn. aby ryzyko przekroczenia stanu granicznego nośności – tzw. awaria – było odpowiednio niskie.
Aby ten cel osiągnąć, należy rozstrzygnąć następujące kwestie:
1) co przyjąć jako miarę ryzyka awarii albo inaczej – jako miarę niezawodności?
2) jaki poziom tego ryzyka przyjąć za dopuszczalny albo inaczej – jaki poziom niezawodności przyjąć za docelowy?
3) jakimi metodami osiągnąć ten docelowy poziom niezawodności:
a) jaki format wzorów projektowych przyjąć w normach?
b) według jakich zasad przyjmować wartości nominalne (obciążeń, własności materiałów itp.)?
c) w jaki sposób dopasowywać do nich częściowe współczynniki bezpieczeństwa?
d) w jaki sposób redukować liczbę tych współczynników do niezbędnego minimum?
e) jak sprawdzić, czy poziom niezawodności elementów konstrukcyjnych lub konstrukcji, zwymiarowanych na podstawie przyjętych wartości nominalnych i częściowych współczynników bezpieczeństwa, jest dostatecznie bliski poziomowi docelowemu?
Precyzyjne rozstrzygnięcie tych kwestii stanowi podstawę prawidłowej interpretacji Eurokodów 1–9 oraz prawidłowego opracowywania ich załączników krajowych, co jest niezbędne do bezpiecznego projektowania.
Zadanie to powinien spełniać Eurokod – Podstawy projektowania konstrukcji [1, 2]. Niestety, nie spełnia go.
Miara ryzyka awarii i miara niezawodności
Najbardziej obiektywną miarą ryzyka awarii jest jej prawdopodobieństwo Pf. W rezultacie, jako miarę niezawodności, przyjmuje się tzw. wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda ß, który jest tym większy, im to prawdopodobieństwo jest mniejsze:
(1) 
gdzie φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego standaryzowanego (rozkładu Gaussa).
W większości przypadków awarię można przedstawić jako zdarzenie losowe, określone nierównością
(2)
gdzie R i Q są zmiennymi losowymi oznaczającymi odpowiednio nośność elementu konstrukcyjnego lub konstrukcji oraz efekt obciążeń działających na konstrukcję1.
Odpowiada jej wzór projektowy w normie
(3)
gdzie Rd i Qd oznaczają wartości obliczeniowe nośności R i efektu obciążeń Q.
Możliwe są dwa podejścia do projektowania z uwagi na ryzyko awarii:
1) projektowanie na zadane prawdopodobieństwo awarii Pf,
2) projektowanie na zadane prawdopodobieństwo przekroczenia wartości dopuszczalnych.
Pierwsze podejście polega na takim doborze wartości obliczeniowych Rd i Qd, aby niespełnienie warunku normowego (3) oznaczało zajście zdarzenia losowego (2), czyli awarię, z założonym, odpowiednio małym, prawdopodobieństwem Pf, które z kolei odpowiada założonemu, odpowiednio wysokiemu, wskaźnikowi niezawodności β, określonemu zależnością (1) [4 i 6].
Drugie podejście polega na takim doborze wartości obliczeniowych Rd i Qd, aby z założonym, odpowiednio małym, prawdopodobieństwem zachodziły nierówności R<Rd oraz Qd<Q, dzięki czemu prawdopodobieństwo Pf zajścia nierówności (2), czyli awarii, także byłoby małe, chociaż jego wartość pozostawałaby nieznana [5].
Ponieważ wartości obliczeniowe Rd i Qd ustalane są w normach projektowania i normach obciążeń, dlatego przed przystąpieniem do opracowania tych norm konieczne jest dokonanie wyboru jednej z tych dwóch metodologii projektowania. Ta druga metodologia ma obecnie znaczenie historyczne, powszechnie stosuje się pierwszą, zwaną też „projektowaniem na docelowy wskaźnik niezawodności”.
Niestety, w Eurokodzie – Podstawy projektowania konstrukcji takiego wyboru nie dokonano. W rozdziale 2 pt. „Wymagania” wprowadzono takie pojęcia, jak „należyty poziom niezawodności” (s. 18), czy „zarządzanie niezawodnością” (s. 19), jednak nie wyjaśniono ich znaczenia. Załącznik B (informacyjny) „Zarządzanie niezawodnością obiektów budowlanych” oraz Załącznik C (informacyjny) „Podstawy współczynników częściowych i analizy niezawodności” pozwalają zaledwie się domyślać, że w Eurokodzie za miarę niezawodności przyjęto wskaźnik β w rozumieniu określonym wzorami (1) i (2). Ale skoro tak, to dlaczego jego definicję podano dopiero na 50. stronie 68-stronicowego dokumentu?
Docelowy poziom niezawodności
Ustalenie docelowego poziomu niezawodności, czyli docelowego wskaźnika β, dla nowo opracowywanych norm ciągle jest przedmiotem badań. Jest to bowiem wartość, którą można przyjąć jedynie w sposób subiektywny (arbitralny), biorąc pod uwagę z jednej strony bezpieczeństwo projektowanej konstrukcji, z drugiej zaś – cenę, jaką za to bezpieczeństwo trzeba zapłacić.
Dopóki projektanci i ekonomiści nie zaproponują w tej kwestii kompromisu, nie pozostaje nic innego, jak polegać na doświadczeniu i intuicji inżynierów projektantów i wykonawców. Należy mianowicie dokonać subiektywnej (arbitralnej) oceny jakości projektów opracowanych zgodnie ze starymi normami – czy są one dostatecznie bezpieczne, ale nieprzeprojektowane, oraz określić wartość wskaźnika β dla tych projektów, które zostały ocenione pozytywnie, a następnie wartość tę przyjąć jako docelową w nowych normach. W ten właśnie sposób została przeprowadzona aktualizacja amerykańskiej normy projektowania konstrukcji żelbetowych Building Code Requirements for Structural Conrete (ACI 318-05) and Commentary (ACI 318R-05) [3, 4, 7–11].
Przyjmując docelową wartość wskaźnika β dla danego elementu konstrukcyjnego, należy wziąć pod uwagę jego znaczenie dla bezpieczeństwa całej konstrukcji. Konstrukcja jest bowiem układem wielu współpracujących ze sobą elementów, stąd poziom jej niezawodności zależy nie tylko od poziomu niezawodności każdego z nich, ale także od sposobu, w jaki ze sobą współpracują – czy stanowią układ szeregowy, czy równoległy – od ich liczby, a także od stopnia ich wzajemnego skorelowania. Innymi słowy – na inny wskaźnik β należy projektować płytę stropową, a na inny żebra, na których wsparta jest ta płyta, na jeszcze inny podciąg, na którym wsparte są te żebra, i na inny słup, na którym wsparty jest ten podciąg itp.
Ponadto elementowi konstrukcyjnemu, a tym bardziej całej konstrukcji, nie można narzucić dowolnie dużej wartości wskaźnika β. Maksymalne β, jakie można nadać elementowi przy danym obciążeniu, zależy od wskaźnika zmienności jego nośności R i jest ono tym mniejsze, im ten wskaźnik jest większy. W rezultacie element drewniany nigdy nie będzie tak niezawodny jak betonowy, betonowy – jak żelbetowy, żelbetowy – jak stalowy itp. Aby zmniejszyć wskaźnik zmienności nośności elementu, nie zmieniając materiału, z którego będzie wykonany, można jeden element zastąpić układem równoległym kilku elementów. Typowym tego przykładem są połączenia śrubowe w węzłach kratownic, w których pojedynczą śrubę zastępuje się układem kilku śrub.
Bezpieczeństwo projektowanej konstrukcji można jednak zwiększyć nie tylko przez zwiększenie docelowego wskaźnika β, ale także przez przyjęcie wyjątkowo niekorzystnego sposobu jej obciążenia. Typowym tego przykładem jest zaprojektowanie mostu drogowego przeznaczonego dla ruchu samochodów i pieszych przy założeniu, że będzie on obciążony kolumną czołgów.
W Eurokodzie – Podstawy projektowania konstrukcji nie uwzględniono ww. zagadnień. W Załączniku B (informacyjnym) „Zarządzanie niezawodnością obiektów budowlanych” wprowadzono pojęcie „klasy konsekwencji”, służących klasyfikowaniu konstrukcji z punktu widzenia konsekwencji ich zniszczenia (tablica B1), oraz pojęcie „klasy niezawodności”, służących klasyfikowaniu konstrukcji ze względu na docelowy wskaźnik β, a następnie uzależniono te klasy od siebie (tablica B2). Innymi słowy – nie uzależniono docelowego β dla poszczególnych elementów konstrukcyjnych od materiału, z którego będą wykonane, ani od ich znaczenia dla bezpieczeństwa całej konstrukcji, lecz od znaczenia tej konstrukcji, nie podając przy tym żadnych wyników badań ani innych merytorycznych przesłanek, które by te wartości uzasadniały.
Projektowanie na docelowy wskaźnik niezawodności
Możliwe są dwa formaty wzorów projektowych w normach projektowania i normach obciążeń
(4a)
(4b)
oraz
(5a)
(5b)
Pierwszy format, postaci (4a) i (4b), należy rozumieć następująco: na podstawie wartości nominalnych (tj. określonych normą) własności wytrzymałościowych materiałów A1n, A2n…, charakterystyk geometrycznych przekrojów B1n, B2n…, parametrów modeli C1n, C2n… itd. oblicza się tzw. nośność nominalną elementu konstrukcyjnego lub konstrukcji Rn, a następnie, mnożąc ją przez częściowy współczynnik bezpieczeństwa φ, zmniejszający, φ<1, otrzymuje się tzw. nośność obliczeniową Rd. Analogicznie na podstawie wartości nominalnych (tj. określonych normą) poszczególnych składników obciążeń q1n, q2n… oblicza się tzw. nominalne efekty obciążeń Q1n, Q2n…, a następnie, mnożąc je przez częściowe współczynniki bezpieczeństwa γ1, γ2…, zwiększające, γ1>1, γ2>1…, i sumując, otrzymuje się tzw. obliczeniowy efekt obciążenia całkowitego Qd. Przy wymiarowaniu porównuje się go z nośnością obliczeniową Rd zgodnie z (3).
Drugi format, postaci (5a) i (5b), należy rozumieć następująco: wartości nominalne własności wytrzymałościowych materiałów A1n, A2n… mnoży się przez częściowe współczynniki bezpieczeństwa φ1, φ2…, zmniejszające, φ1<1, φ2<1…, otrzymując ich wartości obliczeniowe, a następnie na ich podstawie oraz na podstawie nominalnych charakterystyk geometrycznych przekrojów B1n, B2n…, parametrów modeli C1n, C2n… itd. oblicza się tzw. nośność obliczeniową Rd. Analogicznie wartości nominalne poszczególnych składników obciążeń q1n, q2n… mnoży się przez współczynniki bezpieczeństwa γ1, γ2…, zwiększające, γ1>1, γ2>1…, otrzymując ich wartości obliczeniowe, a następnie na ich podstawie oblicza się tzw. obliczeniowy efekt obciążenia całkowitego Qd. Przy wymiarowaniu porównuje się go z nośnością obliczeniową Rd zgodnie z (3).
Pierwszy format stosowany jest m.in. w normach amerykańskich i kanadyjskich, natomiast drugi stosowany jest m.in. w Polskich Normach.
W obu formatach zasady przyjmowania wartości nominalnych są podobne: są to kwantyle lub wartości średnie odpowiednich zmiennych losowych.
Zasadnicza różnica pomiędzy tymi formatami polega na umiejscowieniu częściowych współczynników bezpieczeństwa we wzorach projektowych. Różnica ta decyduje nie tylko o kolejności, w jakiej użytkownik normy – projektant – uwzględnia je przy wymiarowaniu, ale także o wyborze procedur, za pomocą których współczynniki te są wyznaczane podczas tworzenia lub aktualizacji norm projektowania i norm obciążeń, tzw. kalibracji.
W obu formatach cel kalibracji jest ten sam: wartości tych współczynników należy tak dopasować do przyjętego formatu wzorów projektowych i wartości nominalnych, aby zaprojektowane na ich podstawie elementy konstrukcyjne lub konstrukcja miały zapewniony docelowy wskaźnik niezawodności β. Jednak inne procedury kalibracji mogą znaleźć zastosowanie w przypadku pierwszego formatu, a inne w przypadku drugiego.
Po przeprowadzeniu kalibracji okazuje się, że dla każdego przypadku obliczeniowego, tj. dla każdego elementu konstrukcyjnego i każdego stanu granicznego, a nawet dla każdej proporcji poszczególnych składników obciążeń, należałoby przyjąć inne wartości współczynników w normach. Korzystanie z takich norm byłoby praktycznie niemożliwe, dlatego konieczne jest zredukowanie liczby współczynników do niezbędnego minimum. W rezultacie w większości przypadków obliczeniowych ostateczna wartość wskaźnika niezawodności β projektowanego elementu konstrukcyjnego lub konstrukcji nie będzie równa wartości docelowej, chociaż będzie jej bliska.
Ostatnim etapem tworzenia lub aktualizacji normy jest rozwiązanie zagadnienia odwrotnego do kalibracji, czyli oceny elementów konstrukcyjnych lub konstrukcji, zaprojektowanych na podstawie przyjętych wartości nominalnych i współczynników bezpieczeństwa, pod względem poziomu ich niezawodności. Polega to na oszacowaniu prawdopodobieństwa ich awarii lub obliczeniu ich wskaźnika niezawodności β, zgodnie z (1) i (2). W tym celu, w zależności od przyjętego formatu wzorów projektowych (4a) i (4b) lub (5a) i (5b), należy zastosować odpowiednią metodę obliczeniową: albo jedną z metod analitycznych, albo symulacje Monte-Carlo.
W Eurokodzie – Podstawy projektowania konstrukcji brakuje spójnej metodologii kalibracji.
Wzory projektowe, które podano w rozdziale 6 „Sprawdzanie metodą współczynników częściowych”, mają postać zbliżoną do formatu drugiego, tj. (5a) i (5b). Nie podano – niestety – procedury kalibracji odpowiedniej dla tego formatu.
Co prawda w Załączniku C (informacyjnym) „Podstawy współczynników częściowych i analizy niezawodności” podano procedurę rozwiązywania zagadnienia odwrotnego do kalibracji, tj. obliczenia prawdopodobieństwa awarii, zgodnie z (1) i (2), jednak zastosowanie jej polegałoby na wyznaczaniu współczynników bezpieczeństwa metodą prób i błędów, a więc najbardziej pracochłonnej z metod. Ponadto aby ją zastosować, należałoby uprzednio ustalić rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych R i Q, tj. typy tych rozkładów i ich parametry, na podstawie rozkładów prawdopodobieństw własności wytrzymałościowych materiałów, charakterystyk geometrycznych przekrojów, obciążeń itp. Jednak, jak tego dokonać – w Eurokodzie nie podano.
Zagadnienie redukcji liczby częściowych współczynników bezpieczeństwa w normach pominięto w Eurokodzie.
W Załączniku D (informacyjnym) „Projektowanie wspomagane badaniami” podano różne metody analizy statystycznej wyników badań w celu wyznaczenia wartości nominalnych występujących we wzorach projektowych. Niestety, pominięto metodę wykorzystującą tzw. arkusze probabilistyczne (zwane też siatkami prawdopodobieństwa) – najbardziej efektywną spośród wszystkich metod w zagadnieniach dotyczących niezawodności [6].
Pominięto też całkowicie metody symulacyjne Monte Carlo, które – mimo że bardziej pracochłonne od metod analitycznych – są uniwersalne, a w niektórych przypadkach niezastąpione [4 i 6].
dr inż. Ewa Szeliga
Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej
Literatura
1. PN-EN 1990:2004 Eurokod – Podstawy projektowania konstrukcji, 2004.
2. EN 1990:2002 Eurocode – Basis of structural design, 2002.
3. Building Code Requirements for Structural Conrete (ACI 318-05) and Commentary (ACI 318R-05), An ACI Standard.
4. B. Ellingwood, T.V. Galambos, J.G. MacGregor, C.A. Cornell, Development of Probability Based Load Criterion for American National Standard A58, NBS Special Report 577, US Department of Commerce, National Bureau of Standards, 1980.
5. J. Murzewski, Niezawodność konstrukcji inżynierskich, Arkady, Warszawa 1989.
6. A.S. Nowak and K.R. Collins, Reliability of Structures, McGraw-Hill, New York 2000.
7. A.S. Nowak, E.K. Szeliga and M.M. Szerszen, Statistical Models for Resistance of Concrete Components, Proceedings of the 12th WG 7.5 Working Conference on Reliability and Optimization of Structural Systems, Aalborg, Denmark 2005, pp. 171–178.
